שבילים בעיות חיבוריות - המשך מדריך למורה ÁËÓ תוכן העניינים. ÈÎÂappleÈÁ È ÂÏÂappleÎËÏ ÊÎ Ó

Transcription

1 ÁËÓ ÈÎÂappleÈÁ È ÂÏÂappleÎËÏ ÊÎ Ó שבילים מתמטיקה לבית-הספר היסודי בעיות חיבוריות - המשך מדריך למורה תוכן העניינים הקדמה א. תיאורים וציורים סיפורים ותבניות ב. בעיות ג. 20 סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) ד. ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) נספחים

2 צוות המתמטיקה במטח ייעוץ מדעי: פרופ' פרלה נשר, ד"ר מאיר בוזגלו, ד"ר אירית פלד ריכוז הצוות: ד"ר שרה הרשקוביץ צוות הפיתוח: ד"ר אלכס אוליצין, אסנת אפרת, ד"ר אילנה ארנון, תמי גירון, ד"ר ילנה זריא, ורדה טלמון, דורית כהן, ד"ר לאונטי לבנברג, טובי מגדל, רותי מירון, ד"ר איבי מכמנדרוב, טלי נחליאלי, ד"ר רנטה נירנבורג, ילנה נפתלייב, ד"ר מיכל סוקניק, הגר רובינק, שלי רוטה, ד"ר בבה שטרנברג עריכה: חוה בן זקן הפקה: דליה בסון צוות הגרפיקה: שירה בכר, איילת גוטרמן, ישי יגיל ריכוז השתלמויות: ד"ר אלכס אוליצין, נורית מנדל מזכירות הצוות: לילך רון, טליה אור עריכת המדריך למורה: חוה בן זקן עיצוב וביצוע גרפי של המדריך למורה: חנה פילר עיצוב וביצוע גרפי של החוברת לתלמיד: סטודיו ניצן שמיר מעצבים איורים: מירל גולדברג הגהת ניקוד: רפי מוזס הבאה לדפוס: גדי נחמיאס הוצאה לאור: המרכז לטכנולוגיה חינוכית הודפס בשנת 2004 תודתנו נתונה לבתי הספר היסודיים שהשתתפו בניסוי "שבילים" - כיתה ב, תשס"ד ועזרו לנו בתהליך היצירה והניסוי של חומר זה: "אבני החושן" - שוהם, "אושיסקין" - רמת השרון, "אור לטף" - גבעת אולגה חדרה, "אחד העם" - חדרה, "ביה"ס לטבע סביבה וחברה" - תל אביב, "בן גוריון" - קרית מוצקין, "בני עטרות" - מושב בני עטרות, "גבע" - גבעת עדה, "גורדון" - תל אביב, "דרור" - חיפה, "האלון" - חיפה, "זבולון המר" - טירת הכרמל, "יבנה" - גבעת אולגה חדרה, "יחדיו" - קיבוץ רמת הכובש, "כצנלסון" - חולון, "מבואות" - באר טוביה, "מגן" - מעוז אביב, "ממ"ד הרי"ן" - רמלה, "מורשת זבולון" - גבעת שמואל, "מוריה" - חדרה, "ניצני אשכול" - מועצה אזורית אשכול, "פיקא" - פתח תקוה, "פרנקל" - ירושלים, "רמב"ם" - חיפה, "שזר" - הרצליה, "שזר" - תל אביב, "שילה" - פרדס חנה, "שפרינצק" - קרית גת. כל הזכויות שמורות למטח - המרכז לטכנולוגיה חינוכית קריית משה רואו, רח' קלאוזנר 16, תל אביב, ת"ד 39513, מיקוד: צוות המתמטיקה - טל': , דוא"ל:,Lilach_r@cet.ac.il אתר באינטרנט: זכויות הקניין הרוחני, לרבות זכויות היוצרים והזכות המוסרית של היוצרים בחומר זה, מוגנות. אין לשכפל, להעתיק, לצלם, לתרגם, וכן אין לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי, מכני או אחר את החומר ו/או כל חלק שהוא מהחומר הזה. כמו כן אין לעשות שימוש מסחרי כלשהו בחומר זה, אלא אך ורק לאחר קבלת רשות מפורשת ובכתב מהמו"ל. 2

3 הקדמה א מטרות פרק זה והמלצות לדרך ההוראה פרק זה עוסק בנושא "בעיות חיבוריות" - בעיות שלפתרונן משתמשים בפעולת חיבור או בפעולת חיסור והן מבטאות את המבנה הלוגי של "שלם" ו"חלקים". נושא זה הוא נושא חובה בתכנית הלימודים לכיתה ב'. מומלץ ללמד את הפרק בכמחצית מהשיעורים של שבוע הלימודים ולצדו ללמד פרק נוסף מתחום המספרים או הגאומטרייה. פרק זה הוא המשך לפרק "בעיות חיבוריות" שנלמד בכיתה א'. החידוש כאן הוא במבחר התיאורים המילוליים - תיאורים מורכבים יותר מבחינת השפה, ולפיכך כאלה המציגים בעיות בדרגות קושי גבוהות יותר מאלה שהופיעו בכיתה א'. עם זאת נכללים כאן, בין היתר, סוגי בעיות שכבר נלמדו - גם כדי לחזור עליהן וגם כדי שתתקבל תמונה רחבה יותר של הנושא כולו. (בעיות שונות מסוגים שכבר נלמדו ישולבו גם בפרקי לימוד בתחומים אחרים במתמטיקה, ואולם שם הן ישמשו לצורך חזרה ויישום של החומר הנלמד באופן מסודר בפרק זה.) בפרק זה, כמו בקודמו, יש גם בעיות לא שגרתיות, המזמינות אסטרטגיות פתרון מיוחדות, כגון: מיצוי אפשרויות, שיקולים לוגיים הקשורים לתיאור קבוצות ולמבנה המספרים ועוד. בין הבעיות יש כאלה שמתאימה להן תשובה אחת ויחידה, כאלה שמתאימות להן תשובות רבות ואפשר לגבש אסטרטגיה של חיפוש שיטתי למציאת כל התשובות האפשריות וכאלה שלא מתאימה להן שום תשובה (כלומר מקרים שלא ייתכנו). הבעיות הלא שגרתיות מופיעות במרוכז בסוף הפרק (עמודים בחוברת לתלמיד). ואולם אין הכוונה שצריך ללמד אותן ברצף רק כאשר מגיעים לסוף הפרק, אלא יש לייחד שיעור אחד לבעיות אלה אחת לשבוע (או אחת לשבועיים). ברוב הבעיות מומלץ לעסוק בקבוצות קטנות כדי לאפשר עבודה משותפת של התלמידים: חיפוש בצוותא של דרך הפתרון וכן שיחה ודיון על הפתרון שנמצא. מומלץ גם שהמורה תדון עם התלמידים (עם הקבוצה הקטנה או עם הכיתה כולה) על הפתרונות השונים שהם מציעים ועל יעילות הפתרונות האלה. רצוי שהמורה תרחיב את הבעיות גם לתחומי מספרים נוספים או לשאלות מעניינות אחרות הקשורות לאותו נושא. האסטרטגיה המומלצת לדיון היא not" *"what if ("מה אם לא...") - התמקדות באחד ממרכיבי הבעיה וניסיון לנסח אותה, לנתח אותה ולפתור אותה, גם כאשר משנים את המספר במרכיב הנתון או את המרכיב שעליו שואלים. בעזרת אסטרטגיה זו אפשר להרחיב כל בעיה למקרים רבים נוספים וכך להראות אותה בפרספקטיבה רחבה יותר מזו שמציע הסיפור הצר שהוצג לפני התלמידים (את הדיון באסטרטגיה זו נרחיב בסוף הפרק, כאשר נתמקד בבעיות הלא שגרתיות). בדומה לפרק של כיתה א' גם כאן יש עיסוק נרחב בכתיבת בעיות: באופן חופשי, על בסיס תמונה, תבנית או ביטוי מתמטי, כאשר התלמידים צריכים לבנות את ההקשר הסיפורי. לצורך הצגת התמונה הכוללת נביא להלן רקע מתמטי ובו פירוט של סוגי הבעיות החיבוריות ושל היבטים נוספים בניתוח בעיה מילולית. רקע זה כבר הוצג במדריך למורה של הפרק הקודם בכיתה א'. * Brown I. B. and Walter I.M. (1993): "In Classroom: Students as Auther and Critic", In: S.I. Brown and M.I. Walter (eds.) "Problem Posing, Reflections and Applications". Hillsdale. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. 3

4 הקדמה ב רקע מתמטי סוגים שונים של בעיות חיבור וחיסור את הטקסטים של בעיות חיבוריות (בעיות של חיבור וחיסור) אפשר למיין לשלושה סוגים עיקריים: 1. בעיות המתארות פעילות 2. בעיות איסוף 3. בעיות השוואה. שימו לב: מיון הבעיות נועד למורים בלבד - התלמידים אינם צריכים להכיר את הניתוחים השונים של סוגי הבעיות. 1. בעיות המתארות פעילות בעיות אלה מתארות התפתחות של אירוע או תהליך של שינוי, כלומר מתוארים מצב התחלתי כלשהו, שינוי המצב הזה ומצב סופי. דוגמה 1: בבוקר היו ליניב 7 גולות. מצב התחלתי במשך היום הוא הפסיד 5 גולות. שינוי המצב (הפחתה) כמה גולות נשארו לו? מצב סופי בדוגמה זו נתונה קבוצת השלם (הקבוצה המתארת את המצב ההתחלתי) וכן אחת הקבוצות החלקיות (המתארת את השינוי) ושואלים על הקבוצה החלקית האחרת (המתארת את המצב הסופי). דוגמה 2: מצב התחלתי בבוקר היו ליניב 7 גולות. שינוי המצב (הוספה) במשך היום הוא זכה ב 5 גולות. מצב סופי כמה גולות היו לו בסוף היום? בדוגמה זו נתונות שתי הקבוצות החלקיות (זו המתארת את המצב ההתחלתי וזו המתארת את השינוי) ושואלים על קבוצת השלם (הקבוצה המתארת את המצב הסופי). במחקרים שבדקו את דרגות הקושי של בעיות המתארות פעילות נמצא שיש חשיבות לגורמים האלה: סוג השינוי - הוספה או הפחתה הקבוצה שעליה שואלים: המצב ההתחלתי, השינוי או המצב הסופי סדר הופעת האירועים בטקסט. 4

5 הקדמה ניתוח הגורמים: סוג השינוי והקבוצה ששואלים עליה הטבלה שלהלן מסכמת את השפעת שני הגורמים סוג השינוי והקבוצה ששואלים עליה על דרגת הקושי של הבעיה.* דרגת הקושי (מהקל אל הקשה) הקבוצה ששואלים עליה השינוי דוגמה מצב סופי הוספה לדני היו 7 גולות. הוא זכה ב 5 גולות. כמה גולות יש לדני? 1 מצב סופי הפחתה לדני היו 7 גולות. הוא הפסיד 5 גולות. כמה גולות יש לדני? 2 שינוי הוספה לדני היו 7 גולות. כמה גולות הוא הרוויח, אם כעת יש לו 12 גולות? 3 שינוי הפחתה לדני היו 7 גולות. כמה גולות הוא הפסיד, אם כעת יש לו 2 גולות? 4 מצב התחלתי הוספה כמה גולות היו לדני, אם הוא הרוויח 5 גולות, וכעת יש לו 12 גולות? 5 מצב התחלתי הפחתה כמה גולות היו לדני, אם הוא הפסיד 5 גולות, וכעת יש לו 2 גולות? 6 שימו לב: סוג השינוי (הוספה או הפחתה) אינו קובע איזה תרגיל ישיר מתאים לפתרון הבעיה (תרגיל חיסור או תרגיל חיבור). לדוגמה: בבעיה מדרגה 3 שבטבלה סוג השינוי הוא הוספה, והתרגיל הישיר לפתרון הוא תרגיל חיסור, מכיוון ששואלים על אחת הקבוצות החלקיות. בבעיה מדרגה 6, לעומת זאת, סוג השינוי הוא הפחתה, והתרגיל הישיר לפתרונה הוא תרגיל חיבור, מכיוון ששואלים על השלם (הקבוצה הכוללת). ניתוח הגורם: סדר הופעת האירועים בטקסט אפשר להבחין בין שני סוגים של בעיות מבחינת סדר הופעת האירועים בטקסט: סדר האירועים בטקסט הוא לפי סדר האירועים במציאות: מצב התחלתי, שינוי, מצב סופי. (ראו דוגמאות 1 ו 2 בעמוד הקודם.) סדר האירועים שונה מסדר האירועים בפועל במציאות. דוגמה: יניב הפסיד 5 גולות במשך היום. שינוי כמה גולות נשארו לו, מצב סופי אם בבוקר היו לו 7 גולות? מצב התחלתי לתלמידים קל יותר להתמודד עם בעיות מהסוג הראשון (סדר האירועים בטקסט הוא לפי סדרם במציאות), אך כבר בפרק "בעיות חיבוריות" לכיתה א' מוצגות בעיות משני הסוגים. * Nesher, P., Greeno, J.G Riley, M.S. (1982): "The Development of Semantic Categories for Addition and subtraction" Educational Studies in Mathematics 13, pp

6 הקדמה.3 2. בעיות איסוף בבעיות אלה אין תיאור של תהליך אלא של קבוצות שמתקיימים ביניהן יחסי הכלה. היחסים נקבעים על ידי התאורים של הקבוצות התיאור של קבוצת השלם הוא גם הביטוי הכולל המתאים לקבוצות החלקיות. דוגמה 1: בקלמר יש 3 עטים ו 2 עפרונות. כמה כלי כתיבה יש בקלמר? (התיאור "כלי כתיבה" הוא התיאור הכולל לעפרונות ולעטים.) דוגמה 2: בחצר 4 ילדות קופצות ו 4 ילדות עומדות. כמה ילדות יש בחצר? (הכינוי "ילדות" הוא התיאור הכולל לילדות קופצות ולילדות עומדות.) בבעיות איסוף אפשר להבחין בין סוגים שונים של תיאורים: בעיות שבהן שם העצם המשתנה מבחין בין הקבוצות (למשל "בובות", "כדורים", "צעצועים"). בעיות שבהן שם העצם אינו משתנה, אך מצטרף אליו ביטוי מבחין: - שם תואר (למשל, פרח לבן, פרח אדום) - פועל (ילד עומד, ילד משחק) - מקום (על השולחן, על הכיסא, בחדר) - זמן (בבוקר, בערב, כל היום) בחוברת לתלמיד מוצגות בעיות איסוף מכל הסוגים. יש לציין שהבעיות מהסוג הראשון, שבהן שם העצם הוא המבחין בין הקבוצות, נמצאו קלות יותר לפתרון. בעיות השוואה בעיות אלה עוסקות בהשוואה בין שתי קבוצות על ידי תיאור ההפרש הכמותי ביניהן. בתיאור ההפרש משתמשים בביטויים מהסוגים האלה: "_ יותר", "_ פחות", "גדול ב _", "קטן ב _" וכדומה. דוגמה: לדן יש 5 מכוניות. לאבי יש 3 מכוניות יותר משיש לדן. כמה מכוניות יש לאבי? בעיות מסוג זה קשות יותר לפתרון, והן מופיעות בחומר לתלמיד רק בסוף כיתה ב', בחוברת "בעיות השוואה". היבטים נוספים בניתוח בעיה מילולית להלן היבטים נוספים על אלה שהזכרנו לעיל ובהם עוסק פרק זה. מקום השאלה בטקסט בבעיה מילולית אפשר למקם את השאלה בהתחלת הטקסט, באמצעו או בסופו. מקום השאלה משפיע על דרגת הקושי של הבעיה: בעיות שבהן השאלה נמצאת באמצע הן קלות לפתרון יותר מבעיות שבהן השאלה נמצאת בהתחלה או בסוף. בחוברת לתלמיד מוצגות בעיות משלושת הסוגים האלה נתון מיותר לפעמים מופיע בטקסט נתון שאינו דרוש לפתרון הבעיה; חשוב שהתלמידים ילמדו לזהותו. דוגמה: אימא קנתה 2 חולצות, 3 גופיות ו 4 מחברות. כמה בגדים קנתה אימא? הנתון המיותר בדוגמה הוא 4 מחברות. 6

7 הקדמה התלמידים צריכים לבחור מבין נתוני הבעיה רק את אלה הדרושים לפתרונה, והמטרה כאן היא להרגיל אותם לשים לב לתוכן הבעיה וליחסים בין הקבוצות המתוארות בה, ולא רק למספרים המופיעים בה. 3. רמזים מילוליים לעתים מופיעות בטקסט מילים שהקורא נוטה לראות בהן רמז לסוג הפעולה שיש לבצע כדי לפתור את הבעיה. לדוגמה: כשתלמידים קוראים בבעיה את המילים יחד או קיבלו, הם נוטים לחשוב שמדובר בבעיית חיבור, וכשהם קוראים את המילים הפסידו או נשארו, הם נוטים לחשוב שמדובר בבעיית חיסור. מילים אלה עלולות להיות, במקרים מסוימים, רמז מפריע. דוגמה: כמה גולות היו לדני, אם הוא הפסיד 5 גולות וכעת יש לו רק 2 גולות? המילה הפסיד מרמזת לכאורה על בעיית חיסור, אך הפעולה הנדרשת היא חיבור. לפיכך חשוב שלא ללמד את התלמידים שמילים מסוימות מרמזות על חיבור ואחרות על חיסור, אלא להרגילם להתמקד בתוכן הבעיה ובקשר בין שלוש הקבוצות הרלוונטיות המתוארות בה. 4. תחום המספרים כדי לענות על הבעיות המופיעות בפרק זה התלמידים צריכים לדעת לפתור תרגילי חיבור וחיסור, וביניהם גם תרגילים שיש בהם שבירת עשרת. תלמידים שעדיין אינם שולטים בפתרון תרגילים מסוג זה יכולים להיעזר באמצעי המחשה או במחשבון. ג מקומו של הפרק ברצף ההוראה כפי שצוין, פרק זה הוא המשכו של הפרק "בעיות חיבוריות" שנלמד בכיתה א'. סוגי הבעיות החיבוריות שבהן עוסקים בפרק זה הן, לפי המחקרים, בעיות בדרגת קושי גבוהה מזו של הבעיות שהוצגו בכיתה א'. בכיתה א' עסקו התלמידים בבעיות מהסוגים האלה: בעיות איסוף שבהן נתונות הקבוצות החלקיות ומחפשים את הקבוצה הכוללת (קבוצת השלם). התרגיל הישיר לפתרון בעיות אלה הוא תרגיל חיבור. בבעיות איסוף אלה מציגים סוגים שונים של תיאורים המבחינים בין הקבוצות. התיאורים האלה יכולים לכלול שם עצם, שם תואר, פועל, תואר הפועל (תיאור זמן ותיאור מקום). לדוגמה: בלונים שהתפוצצו בבוקר, בלונים שהתפוצצו אחר הצהריים, בלונים שהתפוצצו במשך היום. בעיות המתארות פעילות (חיבור או חיסור), שבהן שואלים על המצב הסופי או על השינוי, כאשר סדר הצגת האירועים בבעיה לא תמיד תואם את סדר האירועים במציאות. בפרק זה עוסקים בבעיות מהסוגים האלה: בעיות האיסוף שהוצגו בכיתה א' ובנוסף עליהן גם בעיות איסוף שבהן נתונה הקבוצה הכוללת וכן אחת מהקבוצות החלקיות ומחפשים את הקבוצה החלקית האחרת. התרגיל הישיר לפתרון בעיות כאלה הוא תרגיל חיסור. עם זאת יש לקבל גם פתרונות של תלמידים המבצעים תרגיל חיבור:. a+ = c בעיות המתארות פעילות מכל שלושת הסוגים שהזכרנו - בעיות שבהן שואלים על המצב הסופי, בעיות שבהן שואלים על השינוי ובעיות שבהן שואלים על המצב ההתחלתי. רצף הוראה זה נבנה על סמך ממצאי מחקרים שהשוו בין בעיות איסוף לבין בעיות המתארות פעילות. ממצאי המחקרים האלה מוצגים בטבלה שלהלן. 7

8 הקדמה דרגת הקושי (מהקל אל הקשה) סוג הבעיות בעיות איסוף ששואלים בהן על קבוצת השלם בעיות המתארות פעילות ושואלים בהן על המצב הסופי או על השינוי בעיות המתארות פעילות ושואלים בהן על המצב ההתחלתי ובעיות איסוף ששואלים בהן על אחת הקבוצות החלקיות המשימות העיקריות המוטלות על התלמידים בפרק זה: א. התמודדות עם טקסט מילולי המתאר קבוצות שונות וקשרים שונים ביניהן ב. זיהוי תפקידן של הקבוצות המתוארות בטקסט (קבוצות חלקיות או קבוצת השלם) ג. בחירת המבנה המתמטי המתאים לתיאור המצב ד. מציאת הפעולה החשבונית הנדרשת לפתרון הבעיה. ד מהלך הלימוד בפרק א. תיאורים וציורים (עמודים 7-4 בחוברת לתלמיד) בעמודים אלה עוסקים בתיאורים שונים של מצבים במשפטים ובציורים. תחילה התלמידים נדרשים להתאים משפטים לציורים, ולאחר מכן הם נדרשים לצייר או לצבוע לפי תיאורים מילוליים. ב. סיפורים ותבניות (עמודים 11-8 בחוברת לתלמיד) בעמודים אלה עוסקים בתיאורים מילוליים שונים של שלם וחלקים. המטלה העיקרית של התלמידים היא לזהות את השלם ואת החלקים בכל אחד מהתיאורים. פעילות זו חשובה במיוחד מכיוון שכל הבעיות החיבוריות מופיעות במבנה לוגי זה (שלם וחלקים); הן נבדלות זו מזו רק בתוכן, בניסוח ובמרכיב החסר (שעליו התלמידים נשאלים). ג. בעיות (עמודים בחוברת לתלמיד) לתלמידים מוצג אוסף של בעיות מילוליות, כאשר הדגש הוא על ניסוחים שונים שלהן. הכלי שבאמצעותו התלמידים מתבקשים לנתח את הבעיה הוא תבנית השלם והחלקים. בעזרת ניתוח זה עליהם להחליט מהו התרגיל שבאמצעותו יפתרו את הבעיה. חשוב לציין שניתוח השלם והחלקים הוא יותר מכלי - הוא עצמו משמש מרכיב מרכזי בהבנה מתמטית של מצבים. כמו כן חשוב שהתלמידים יכתבו גם ביטוי מתמטי מתאים לבעיה וגם תשובה מילולית המתארת את הכמות ואת הקבוצה שבה מדובר. ד. סיפורים ובעיות (עמודים בחוברת לתלמיד) התלמידים מתנסים כאן בפתרון בעיות בהקשרים של סיפורים (כלי נגינה, שרקרקים). התלמידים לומדים לנתח את הסיפורים האלה (בעזרת תבנית השלם והחלקים), לפתור את הבעיות ואף לכתוב בעיות בעצמם. ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) (עמודים בחוברת לתלמיד) בעמודים אלה יש אוסף של בעיות לא שגרתיות המזמינות אסטרטגיות פתרון מגוונות. 8

9 א. תיאורים וציורים הנושא: תיאור מילולי של שלם וחלקים (מורה עם כל הכיתה או עם קבוצת תלמידים) הפעילויות עוסקות בתיאורים מילוליים שבהם שתי קבוצות חלקיות ושלם הכולל אותן ורק אותן. לפני תחילת העבודה רצוי להציג לפני התלמידים כמה דוגמאות למצבים מהמציאות ולדרכי התיאור המילולי שלהם. אפשר להשתמש בחלק מהדוגמאות שיובאו להלן בעת העבודה על סעיף זה. ניתן גם לפזר אותן, לפי צורכי הכיתה, במהלך הוראת הסעיף כולו. פעילויות מומלצות אבזרים: קבוצות של עצמים משני סוגים, לדוגמה: בלונים משני צבעים (למשל: כחולים ואדומים) פרחים משני סוגים (למשל: ורדים וחרציות) פּ רות משני סוגים (למשל: תפוחים ובננות) צעצועים משני סוגים (למשל: מכוניות ובובות) 1. פעילויות בעצמים* מניחים על השולחן קבוצה של עצמים דומים המורכבת משני סוגים (למשל: עציץ ובו 7 פרחים 3 ורדים ו 4 חרציות) ומבקשים מאחד התלמידים לתאר את הקבוצה. חשוב להדגיש שהמשפט המתאר את כל הקבוצה חייב להיות כזה, שאם תלמיד אחר עוצם את עיניו, הוא יוכל לבנות בעצמו במדויק את אותה קבוצה. דוגמאות לתיאורים מדויקים של קבוצת הפרחים שבעציץ: בעציץ יש 3 ורדים ו 4 חרציות. בסך הכול יש בעציץ 7 פרחים. בעציץ יש 7 פרחים: 3 מהם ורדים והשאר חרציות. בעציץ יש 4 חרציות, ושאר הפרחים הם ורדים. בסך הכול יש בעציץ 7 פרחים. 4 מבין 7 הפרחים שבעציץ הם חרציות והשאר ורדים. דוגמאות לתיאורים לא מדויקים של הקבוצה: בעציץ יש 7 פרחים. לא מדויק, שכן לפי תיאור זה אפשר לבנות קבוצה של 7 נרקיסים או קבוצה של 7 פרחים שונים או קבוצה שיש בה הרכב אחר של פרחים. בעציץ יש 7 פרחים, 3 מהם ורדים. (לא מדויק, שכן אין מידע על שאר הפרחים שאינם ורדים ייתכן שהם מסוג אחד, וייתכן שהם מכמה סוגים.) בעציץ יש 3 פרחים ו 4 חרציות. (לא מדויק, שכן לא ברור מאיזה סוג הם 3 הפרחים.) בעציץ יש 3 ורדים ו 4 חרציות. (לא מדויק, שכן ייתכן שיש בעציץ פרחים נוספים.) חשוב להדגיש שאפשר לקבל עם התלמידים החלטה בדבר הנחות שאין חייבים לציין אותן בכל פעם. למשל, אפשר להסכים שתמיד מדובר רק בשני סוגים של עצמים בקבוצה, ולכן אין צורך לומר בכל פעם שאין אחרים מלבדם (שימו לב, בתנאי כזה המשפט האחרון בעמוד זה המתאר את הקבוצה הוא מדויק.) * מומלץ להתחיל את הפעילות בשימוש בעצמים ממש, ואחר כך אפשר לעבור לשימוש בתמונות של עצמים. 9

10 א. תיאורים וציורים אפשר לחזור על פעילויות מסוג זה באופנים שונים: א. במקום קבוצה של עצמים דומים המורכבים משני סוגים אפשר לבחור קבוצה מתלמידי הכיתה שאפשר לתאר אותה כמורכבת משתי קבוצות זרות (למשל, תלמידים שלובשים חולצות בצבע אחיד ותלמידים שלובשים חולצות צבעוניות). ב. אפשר לשחק במשחקים שלהלן. משחק: תיאור וקבוצה (מורה עם הכיתה המחולקת לקבוצות) המורה מכינה על השולחן כמה קבוצות של חפצים שיש ביניהן דמיון. לדוגמה: צלחת ובה 8 פּ רות - 5 תפוחים ו 3 בננות. צלחת ובה 8 פּ רות - 2 בננות ו 6 שזיפים. צלחת ובה 7 פּ רות - 5 תפוחים ו 2 שזיפים. המורה מכינה גם כרטיסים שכתובים עליהם משפטים שונים המתארים באופנים שונים את כל אחת מהקבוצות (בדומה למשפטים שהוזכרו לעיל). כל קבוצת תלמידים מקבלת אותה כמות של כרטיסי משפטים ועליה לזהות את הקבוצות המתוארות בהם. הקבוצה שמציגה ראשונה כרטיסי משפטים המתארים את כל שלוש הקבוצות שעל השולחן היא המנצחת. משחק: בניית קבוצות (מורה עם הכיתה המחולקת לקבוצות) המורה בוחרת קבוצה של חפצים דומים הנבדלים זה מזה בפרט מסוים (למשל, אטבי כביסה בצבעים שונים) ומחלקת אותם לכל אחת מקבוצות התלמידים. המורה מכינה גם אוסף של כרטיסים שכתובים עליהם משפטים (תיאורים). המורה מחלקת לכל קבוצה אותה כמות של כרטיסים, ותלמידי הקבוצה מנסים לבנות את קבוצת החפצים המתוארת בכל כרטיס (יש אפשרות ששני כרטיסים יתאימו לאותה קבוצה). הקבוצה המנצחת היא זו שמצליחה לבנות את כל קבוצות החפצים לפי התיאורים שקיבלה. 2. פעילויות בקבוצות עצמים מצוירות אם יש צורך אפשר להקדים משחקים שונים לעבודה בחוברת. הנה דוגמה למשחק. משחק רביעיות (קבוצת תלמידים) מכינים כמה סדרות של כרטיסים: כרטיס אחד ובו קבוצה מצוירת ושלושה כרטיסים שבכל אחד מהם משפט שונה המתאר את הציור. משחקים כמו בכל משחק רביעיות, והמטרה היא לאסוף סדרות מלאות. המנצח התלמיד שאסף את מספר הסדרות הגדול ביותר. בסוף המדריך יש דפי גזירה ובהם כרטיסים מתאימים. מומלץ להכין סדרות נוספות. 10

11 עמודים 5-4 א. תיאורים וציורים דפי עבודה מהחוברת לתלמיד עמודים אלה עוסקים בתיאורים מילוליים של קבוצות מצוירות. בעמוד 4 יש ציורים, וליד כל ציור כתובים משפטים. על התלמידים לקבוע אילו משפטים מתארים את הציור ואילו אינם מתארים אותו. מומלץ לשאול את התלמידים על כל משפט שאינו מתאר את הציור: איך אפשר לשנות את המשפט כך שיתאים לציור? איך אפשר לשנות את הציור כך שיתאים למשפט? תלמידים שמבצעים פעילות זו כהלכה, יוכלו לדלג על הפעילויות עד עמוד 7. בעמוד 5 יש ארבעה ציורים שונים של חיות. מטרת הפעילות כאן היא להצביע על מקרים שבהם אותו תיאור מתאים לקבוצות שונות. 11

12 עמודים 7-6 א. תיאורים וציורים עמודים אלה עוסקים בבניית קבוצות המתאימות לתיאור נתון. בעמוד 6 התלמידים צובעים לפי ההוראות את הפריטים המצוירים. בעמוד 7 התלמידים מציירים את הקבוצה המתאימה לתיאור. בסעיף ב בעמוד 7 כדאי להסב את תשומת לבם של התלמידים למספר האפשרויות השונות לציור פרחים בעציץ מספר האפשרויות השונות לחלוקת הצבעים של ארבעת הפרחים האחרים שבעציץ. בסעיף ג בעמוד זה כדאי להסב את תשומת לבם של התלמידים למספר האפשרויות השונות לציור הקוביות שעל השטיח. מכיוון שלא נתון כמה קוביות יש בקבוצה המתארת את השלם (כל הקוביות שעל השטיח) מספר האפשרויות הוא אינסופי: גם אינסוף כמויות וגם אינסוף צבעים. פעילויות דומות לאלה שבעמוד 7 אפשר למצוא בדפי רב דף 1 2. דפי עבודה מהחוברת לתלמיד דפי רב דף 2-1 נמצאים בסוף מדריך זה, עמודים

13 ב. סיפורים ותבניות הנושא: סיפורים המתארים שלם וחלקים (מורה עם כל הכיתה או עם קבוצת תלמידים) כאן יש הרחבה של ניתוח טקסטים בתבנית של שלם וחלקים שנלמדה בכיתה א'. בכיתה א' עסקו התלמידים בטקסטים פשוטים (כאלה המתארים שינוי הקשור בהוספה או בהפחתה, שבהם חסרים המצב הסופי או השינוי, וכאלה הקשורים לאיסוף, שבהם החלקים נתונים והשלם חסר). נמצא במחקר שטקסטים אלה קלים מאוד (עיינו גם בהקדמה, עמודים 6-4). הטקסטים בחוברת לכיתה ב' מורכבים יותר: טקסטים של בעיות איסוף, שמתוארים בהן השלם ואחת הקבוצות החלקיות והקבוצה החלקית האחרת חסרה, וכן טקסטים של בעיות המתארות פעילות שחסר בהן המצב ההתחלתי. התלמידים נדרשים לזהות מהו השלם ומהם החלקים ולמקם אותם כראוי בתבניות. פעילויות מומלצות אבזרים: לוח המייצג תבנית של שלם וחלקים (בדומה לתבנית שבחוברת) ואפשר להחליף בו את התיאורים המילוליים (בעזרת "סקוטש" או מגנטים) אוסף של כרטיסים שרשומים עליהם תיאורים מילוליים (ראו דוגמה בתיאור הפעילות המומלצת) אוסף של כרטיסי מספרים רצוי לפתוח בחזרה על השימוש בתבנית של שלם וחלקים. לתבנית של שלם וחלקים צריכים להתאים גם התיאורים המילוליים (שמות הקבוצות) וגם המספרים. בשלב הראשון מומלץ לעסוק רק בתיאורים המילוליים עצמם שמות הקבוצות בלי מספרים. מציגים לתלמידים אוסף של כרטיסים ובהם תיאורים (שמות) של קבוצות, כגון: תוכים, יונים, ציפורים, אריות, נמרים, טורפים (בדומה לפעילות הפתיחה בחוברת "בעיות חיבוריות" לכיתה א'). בוחרים את אחד התיאורים, מציגים אותו כשלם ושואלים: מה יכולים להיות החלקים? לדוגמה: אם השלם הוא ציפורים, החלקים יהיו תוכים ויונים. אם השלם הוא בעלי חיים, החלקים יהיו נמרים ויונים או ציפורים וטורפים או ציפורים ואריות. באופן דומה אפשר להציג תיאור (שם של קבוצה) כחלק ולבקש מהתלמידים להציע חלק אחר ושלם. בשלב השני כדאי להוסיף מספרים לתיאורים המילוליים ולבדוק אם גם הם מתאימים לתבנית של שלם וחלקים (כדי שהמספרים יתאימו, סכום החלקים צריך להיות השלם). בשלב השלישי מומלץ לספר לתלמידים סיפור ולבקש מהם לציין מהו השלם ומה הם החלקים בסיפור. לדוגמה: ראיתי 3 יונים שהתקרבו אל כלוב, ובו 2 תוכים. בסך הכול ראיתי 5 ציפורים. אפשר, כמובן, לבקש גם מהתלמידים לספר סיפורים דומים. 13

14 עמודים 11-8 ב. סיפורים ותבניות דפי עבודה מהחוברת לתלמיד בעמודים אלה יש סיפורים שונים. התלמידים צריכים לזהות בהם את השלם ואת החלקים, לכתוב תבנית מתאימה ולהשלים מספרים מתאימים. בעמודים 10-8 תיאור הקבוצות הוא חד משמעי ויש אפשרות אחת ויחידה לכתיבת תבנית. 14

15 ב. סיפורים ותבניות בעמוד 11, בניגוד לעמודים 10-8, יש אפשרויות שונות להשלמת התבנית בכל סעיף וכדאי לדון בהן בכיתה. בסעיף ו נתון השלם 5 פרחים ונתון אחד החלקים פרח אחד צהוב, ולא נאמר דבר על החלק האחר. ברור שהחלק האחר הוא 4 פרחים (4=5-1), אך מכיוון שלא נאמר דבר על צבעם, יכול להתאים להם כל הרכב של צבעים. בסעיף ז נתון אחד החלקים 3 פרחים ורודים. נתון גם שהחלק האחר הוא פרחים צהובים, אך לא נאמר דבר על מספר הפרחים הצהובים, ולכן יכול להתאים כל מספר שיבחרו התלמידים. מובן שהבחירה שלהם תשפיע ישירות על קבוצת השלם, שהיא איחוד של שתי הקבוצות החלקיות. למשל, אם יבחר תלמיד ב 7 פרחים צהובים כקבוצה חלקית תהיה קבוצת השלם 10 פרחים בסך הכול. אם יבחר תלמיד ב 15 פרחים כקבוצה חלקית תהיה קבוצת השלם 18 פרחים בסך הכול. רב דף 3 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד

16 ג. בעיות הנושא: ניתוח ופתרון של בעיות מילוליות (מורה עם כל הכיתה ובהמשך - עבודה עצמית של כל תלמיד או עבודה בקבוצות) כאן מופיעה לראשונה במפורש בעיה מילולית (שדומות לה הופיעו כבר בכיתה א'). התלמידים עוסקים בניתוח הטקסט הנתון: מציאת השלם והחלקים (תוך כדי כתיבתם בתבנית), כתיבת תרגיל מתאים לפתרון הבעיה וכתיבת תשובה מתאימה הכוללת מספר ותיאור (כמה? מה?). כאן התלמידים מתמודדים עם בעיות מילוליות מכל הסוגים שהוצגו עד כה: בעיות המתארות שלם וחלקים (בעיות איסוף), בעיות המתארות פעילות שיש בהן תהליכים גם של הוספה וגם של הפחתה ואפשר להציג בהן שאלות על כל אחד מהשלבים (ההתחלה, השינוי והסוף). נדגיש שוב שהשאלות הנוגעות לתחילת התהליך הן הקשות יותר (לדוגמה: בעיה ג בעמוד 13). התלמידים צריכים להתמודד כאן גם עם סוגי ניסוח שונים, כמו הופעת משפט השאלה במקומות שונים ברצף הטקסט (בהתחלה, באמצע או בסוף) או שימוש ב"מילות רמז מפריעות" שכבר דובר עליהן בהקדמה לפרק זה של המדריך (לדוגמה, בבעיה ג בעמוד 13: שימוש במילים כגון "שלחה" ו"נשארה", כשיש לבצע תרגיל חיבור דווקא). חשוב להדגיש לפני התלמידים שמילה בודדת (ואפילו שתיים) אינה זו הקובעת את הפעולה הנדרשת, אלא הקשר שבין הקבוצות השונות (השאלה אם הן חלקים או שלם) הוא הקובע את סוג הפעולה. הערות דידקטיות מומלץ לפתור את הבעיה הראשונה (אפשר להתחיל מזו המוצגת בדוגמה) יחד עם התלמידים, כאשר הדגש הוא על קריאת הטקסט, ואחר כך לבקש מהתלמידים לספר בעל פה את מה שקראו. לעתים אפשר לזהות כבר בשלב זה את התלמידים שלא הבינו את המצב המתואר בבעיה; אין טעם לעבור אתם לעבודה על ההיבטים המתמטיים, כל עוד הם אינם מסוגלים לדמיין את המצב המתואר בטקסט. יש לבקש מהתלמידים לזהות את השלם ואת החלקים; לאחר שלב זה התלמידים יכולים לכתוב את התרגיל המתאים לפתרון הבעיה ואת התשובה. יש תלמידים שמזהים את התרגיל מיד ויכולים לפתור אותו בלי להזדקק לניתוח המפורש כולו חשוב לאפשר להם לעשות זאת. במקרים קשים יותר (לדוגמה, כששואלים על התחלת תהליך) הדברים אינם ברורים כל כך, והניתוח שיעזור לתלמידים להתמודד עם הקושי הוא זיהוי השלם והחלקים. אפשר להציע בעיה מסוג זה כבר בפעילות הפתיחה. לדוגמה: כמה שזיפים היו בשקית של רון, אם לאחר שאכל 3 מהם, נשארו לו 6 שזיפים? התבנית משמשת כאן כלי עזר לניתוח בעיות היא עוזרת לתלמידים להתמקד במרכיבי הבעיה ולשים לב גם למספרים וגם לתיאורים (המשקפים את הקשרים בין השלם לבין החלקים). תלמידים שיכולים לעבור ישירות לכתיבה מתמטית של התרגיל רצוי שיעשו זאת. אם מתעורר אצל תלמיד קושי בזיהוי התרגיל, חשוב לבקש ממנו לזהות תחילה את החלקים ואת השלם. בדרך זו ילמד התלמיד: כאשר נתונים שני החלקים הדרושים למציאת השלם, יש לחבר אותם, ובשפה המתמטית יש להשתמש בתרגיל חיבור (לדוגמה: בעיה ב בעמוד 13); כאשר נתונים השלם ואחד החלקים, כדי למצוא את החלק האחר יש לחסר את החלק הראשון מהשלם, ובשפה המתמטית יש לבצע תרגיל חיסור (לדוגמה: בעיה א בעמוד 12). לעתים קרובות התלמידים כותבים משוואה במקום תרגיל חיסור (לדוגמה: 17= + 4). הכוונה למשוואה שיש לה אותו מבנה מתמטי כמו לתרגיל: נתון חלק ויש למצוא את החלק האחר כדי לקבל את השלם. מכיוון שהמבנה המתמטי הוא נכון, חשוב לאפשר לתלמידים לתאר ביטוי מסוג זה בכתב; כך הם ישקפו את דרך חשיבתם בתהליך הבנת המצב המתואר בטקסט. 16

17 ג. בעיות דפי עבודה מהחוברת לתלמיד עמודים

18 עמודים ג. בעיות דפי עבודה מהחוברת לתלמיד בעמודים אלה התלמידים משתתפים בניסוח המילולי של הבעיה, ובדרך זו מסבים את תשומת לבם לתהליכים המתוארים בטקסט: הקטנה או הוספה. מומלץ לעבוד יחד עם התלמידים על שתי הבעיות שבעמוד 15. אחר כך רצוי לשאול את התלמידים את השאלות האלה: - מה ההבדל בין שתי הבעיות? - איך אפשר לדעת אם נוספו ילדים לכיתה או אם עזבו אותה ילדים? - מהו התרגיל שיש להשתמש בו לפתרון הבעיה? - האם המילים "עזבו" ו"נוספו" מרמזות על הפעולה שבתרגיל? 18

19 ג. בעיות דפי עבודה מהחוברת לתלמיד עמודים תלמידים שיכולים לענות על הבעיות שבעמודים אלה בלי לנתח אותן במפורש לשלם וחלקים חשוב לאפשר להם לעשות זאת. לתלמידים המתקשים בפתרון הבעיות או זקוקים לניתוח מפורש לשלם וחלקים כדאי להמליץ לצייר תבנית ביד חופשית או להשתמש בתבניות הריקות שבסוף החוברת. בעמודים אלה יש גם בעיות שבהן נתונים מיותרים, לדוגמה, בעיה ד בעמוד 19. בפתרון הבעיות יש לשים לב על מה נשאלים ולפי השאלה להחליט אילו נתונים יש להביא בחשבון לצורך הפתרון. 19

20 ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) הנושאים: ניתוח ופתרון של בעיות מילוליות; כתיבת בעיות מילוליות בידי התלמידים (מורה עם כל הכיתה או עם קבוצת תלמידים) כאן עוסקים בכל סוגי הפעילויות ניתוח סיפורים ופתרון בעיות שלמדו התלמידים עד כה. הסיפורים והבעיות קשורים בשני סיפורי מסגרת: אחד מהם עוסק בכלי נגינה, והאחר בשרקרקים. כמו כן התלמידים מתמודדים כאן עם כתיבת בעיות בעצמם. הערה דידקטית כאשר עוסקים בסיפור המסגרת לדוגמה, בסיפור של כלי הנגינה יש לוודא שהתלמידים מכירים את כלי הנגינה השונים ואת השם הכולל שלהם (כלי נשיפה, כלי מיתר, כלי הקשה וכדומה). כדאי לוודא גם שהתלמידים מכירים את הכלים המסוימים המופיעים בסיפור ואולי אף לשאול אותם אם הם מכירים עוד כלי נגינה המתאימים לאותו שם כולל. לדוגמה: כלי המיתר המוזכרים בפעילות זו הם גיטרה וכינור. כדאי לשאול את התלמידים אם הם מכירים עוד כלי מיתר (למשל מנדולינה). ההבחנה בין השמות הכוללים לבין הכלים הנכללים בהם חשובה להבחנה בין השלם לבין החלקים. עמודים דפי עבודה מהחוברת לתלמיד 20

21 ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) דפי עבודה מהחוברת לתלמיד כדאי לשים לב לבעיה ג בעמוד 24 המסומנת בסמל אתגר בגלל השאלה הנוספת: אם יש ילד שמנגן גם בקרן וגם בגיטרה, יכולים להשתתף בחוג פחות ילדים. מומלץ לדון עם התלמידים על האפשרויות השונות. 21

22 ם ק ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) כתיבת בעיות בעמודים בחוברת לתלמיד התלמידים מתנסים בכתיבת בעיות בעצמם. מזמנים להם סוגים של גירויים לכתיבה: תבנית (עמודים 26-25), ביטוי מתמטי (עמוד 27), טבלה (עמוד 30) וכתיבה חופשית (עמוד 31). לפני שהתלמידים עובדים בעמודים אלה מומלץ להציג לפניהם תבנית שונה מזו שבחוברת ולבקש מהם להציע בעצמם בעיות שונות לתבנית זו. לדוגמה: פּ רוֹת שׁל ל ח ק ב נ חל תפּוּח םי נוֹת לתבנית זו אפשר לכתוב בעיות שונות. הנה כמה דוגמאות: הבעיה אימא הניחה על הצלחת פּ רות: 3 תפוחים ו 4 בננות. כמה פּ רות הניחה אימא על הצלחת? אימא הניחה על הצלחת 15 פּ רות: 3 מהם תפוחים והשאר בננות. כמה בננות הניחה אימא על הצלחת? בסל היו 7 פּ רות: תפוחים ובננות. יוסי אכל את כל 3 התפוחים. כמה בננות נשארו בסל? סוג הבעיה בעיית איסוף שבה שואלים על השלם. בעיית איסוף שבה שואלים על אחד החלקים. (אפשר, כמובן, לשאול גם על החלק האחר.) תהליך שבו שואלים על המצב הסופי. (אפשר, כמובן, להמציא בעיות רבות אחרות המתארות פעילות ולשאול על כל אחד מהזמנים: התחלה, שינוי וסוף או לתאר תהליך של הוספה.) לאחר שהתלמידים מנסחים בכתב את הבעיות השונות, כדאי לאסוף את תיאורי הבעיות ולדון אתם על השווה ועל השונה שביניהן. (השוני יכול לבוא לידי ביטוי בהקשר הסיפורי, בתהליך ובמספרים שהתלמידים בחרו לעסוק בהם.) אפשר גם לבקש מהתלמידים לכתוב תבנית ובה תיאורים של שלם וחלקים ולאחר מכן לכתוב בעיות מילוליות שונות המתאימות לתבנית זו. 22

23 ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) דפי עבודה מהחוברת לתלמיד עמודים רב דף 4 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 47. עמוד 27 בעמוד זה עוסקים בכתיבת סיפור או בעיה לתרגיל נתון. יש שתי אפשרויות של עבודה בעמוד זה: לכל סעיף ינסחו התלמידים בעיות כרצונם. במקרה זה חשוב שהמורה תשים לב לכך שהבעיות יהיו מגוונות גם מבחינת דרכי התיאור המילולי שלהן, גם מבחינת התהליך המתואר (הפחתה או הוספה או איסוף), גם מבחינת סוגי העצמים שבהם מדובר וגם מבחינת סוגי המספרים שבהם עוסקים. התלמידים יתבקשו לתאר מצבים מקבילים בסעיפים א ו ב יחד ומצבים מקבילים בסעיפים ג ו ד (בדומה לפעילות שבעמודים 17-15). 23 רב דף 5 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 48.

24 ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) פעילות מומלצת נוספת כתיבת בעיות על סמך סיפור התלמידים מתבקשים לכתוב בעיות מילוליות על סמך סיפור. דוגמה לפעילות (במסגרת של הכיתה כולה או של קבוצות נפרדות) מציגים לפני התלמידים את הסיפור הזה: לקראת מסיבה ניפחו 20 בלונים. 7 בלונים התפוצצו. בסוף במסיבה נשארו 13 בלונים. אפשרות 1 מסתירים את אחד המספרים באחד המשפטים (לדוגמה, מסתירים את המספר 13 במשפט האחרון), ושואלים את התלמידים אם הם יכולים לנסח בעיה, כך שבעזרת תרגיל חשבוני יהיה אפשר לח שב מהו המספר שהוסתר. בעיה מתאימה: למסיבה הכינו 20 בלונים. 7 בלונים התפוצצו. כמה בלונים נשארו בסוף המסיבה? אפשרות 2 מסתירים את המספר 7 במשפט השני בסיפור. בעיה מתאימה: למסיבה הכינו 20 בלונים. כמה בלונים התפוצצו במהלך המסיבה, אם בסופה נשארו 13 בלונים? אפשרות 3 משנים את סדר המשפטים או את סדר האירועים. בעיה מתאימה: כמה בלונים התפוצצו במהלך המסיבה, אם הכינו לקראתה 20 בלונים, ובסופה נשארו רק 13 בלונים? באופן דומה אפשר לשאול גם על מספר הבלונים שניפחו לקראת המסיבה (20) כשנתונים מספר הבלונים שהתפוצצו (7) ומספר הבלונים שנשארו בסוף המסיבה (13). הערות: חשיבות הפעילות הזאת טמונה בהבחנה שלכל סיפור (שיש לו מבנה חיבורי) אפשר לנסח שלוש בעיות מילוליות שונות זו מזו. לכל הבעיות יש היבט משותף המצב המתואר. לכל הבעיות יש כמה היבטים שונים: הקבוצה שעליה שואלים, סדר הופעת המרכיבים השונים בשאלה ומקום הופעתו של משפט השאלה. 24

25 עמודים ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) דפי עבודה מהחוברת לתלמיד בעמוד 28 עוסקים בבעיות שיש להן תשובות אפשרויות רבות ומומלץ לחפש דרך לעבודה שיטתית. הדרך המוצגת כאן היא כתיבה בטבלה. בבעיות אלה מובאות בחשבון תכונות מספריות שונות הקשורות למצב המתואר. בבעיה 5 מספר הקרנות הוא אי זוגי. בבעיה 6 מספר הגיטרות גדול ממספר הכינורות. בעמוד 29 עוסקים בבעיות שונות הקשורות לתיאור נתון. 25

26 ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) עמודים בעמודים אלה חוזרים לכתיבת בעיות בידי התלמידים. בעמוד 30 התלמידים מתבקשים לכתוב בעיות על סמך רשימת נתונים. בעמוד 31 התלמידים מתבקשים לכתוב בעיות באופן פתוח וחופשי. דפי עבודה מהחוברת לתלמיד 26

27 עמודים ד. סיפורים ובעיות (ניתוח, פתרון וכתיבה) בעמודים אלה עוסקים בכל סוגי הבעיות, ומאחד אותן סיפור מסגרת על שרקרקים. אפשר להציע לתלמידים לחפש בעצמם מצבים שונים מסביבתם היום יומית שעליהם הם יכולים לשאול שאלות חשבוניות שונות. דפי עבודה מהחוברת לתלמיד 27

28 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) מטרת העיסוק בבעיות לא שגרתיות היא הפעלת אסטרטגיות מגוונות, התמקדות בתהליך הפתרון והרחבת נקודות המבט של התלמידים על נושאים, על מושגים ועל רעיונות מתמטיים. אוסף הבעיות המובאות כאן הוא מגוון ומאפשר לממש מטרות רבות. האוסף כולל: בעיות שמתאימים להן מגוון רחב של פתרונות: מבעיות שאין להן פתרון ועד בעיות בעלות פתרונות רבים בעיות המזמנות מיצוי אפשרויות, שבהן מומלץ לעודד חיפוש שיטתי של פתרונות בעיות המאפשרות מציאת חוקיות בעיות בנושאים שלא נלמדו בכיתה באופן ישיר ותפקידן לעודד ואת התלמידים לפתור באופן אינטואיטיבי בעיות המעודדות מציאת דרכי פתרון שונות. דרך העבודה המומלצת כדאי שהתלמידים יפתרו את הבעיות האלה בקבוצה קטנה דרך זו מאפשרת שיחה, התלבטות ועבודה משותפת. חשוב שהמורה תתחיל בפתיחה קצרה, שבמהלכה היא תבדוק אם המושגים הנזכרים בבעיה ידועים לתלמידים ואם המשימה ברורה להם. לעתים כדאי לשאול את התלמידים שאלות הבהרה או להציג לפניהם בעיה אנלוגית לבעיה הנתונה כדי לשפוך אור על מורכבותה (בפירוט הבעיות להלן נציג מבחר דרכי פתיחה מומלצות). רצוי שהמורה תאפשר לתלמידים לעבוד בקבוצה באופן עצמאי, ולפחות בשלב הראשון תקשיב לדרכים שבהן הם משתמשים בתחילת העבודה. לאחר מכן יצטמצם תפקידה למעקב (סמוי) אחר המשך עבודתם. חשוב שלא לנסות לקצר את זמן התלבטותם של התלמידים, לאפשר להם להתנסות במגוון דרכי עבודה, לבקש מהם לנמק את הצעותיהם ולעודד אותם להתייעץ זה עם זה. חשוב שהמורה תשים לב לתלמידים ש"נתקעים" ובעזרת שאלות מנחות תחלץ אותם מהמבוי הסתום שאליו נקלעו. כדאי מאוד לקיים דיון כולל על דרכי העבודה, על פתרונות אפשריים ועל מסקנות או הכללות הנובעות מכך. בכל דיון אפשר להרחיב את תחומה של הבעיה בעזרת אסטרטגיה של "מה אם לא...?" באסטרטגיה זו אפשר לשאול על כל אחד ממרכיבי השאלה: מה יקרה אם נחליף נתון מסוים באחר? איך ישפיע הדבר על פתרון הבעיה או על ההכללות הנובעות ממנה? להלן נעסוק בנפרד בכל אחת מהבעיות. 28

29 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 1 (עמוד 35 בחוברת לתלמיד) איך אפשר לפרוט שקל למטבעות של 50 אגורות, 10 אגורות ו 5 אגורות? כתבו אפשריות שונות. (זכרו: שקל = 100 אגורות.) המלצות חשוב לוודא שהתלמידים יודעים שבשקל יש 100 אגורות וכן שהם מכירים את המושג "פריטה". בתחילת הפעילות רצוי לבקש מהתלמידים להציע בעצמם דרך לפרוט שקל. מ הצעות התלמידים ניתן ללמוד אם הם מבינים מהי פריטה ואם ידוע להם כמה אגורות יש בשקל, ואז לבקש מהם למצוא אפשרויות שונות, רבות ככל האפשר, לפרוט שקל אחד. הצעה לפתרון תלמידים רבים מתחילים מפריטה של שקל לכל אחד מסוגי המטבעות המוזכרות בבעיה. נתחיל גם אנחנו כך, ולאחר מכן נפרט את האפשרויות השונות האחרות לפריטה. 5 אגורות 20 מטבעות 10 מטבעות 8 מטבעות 6 מטבעות 4 מטבעות 2 מטבעות 18 מטבעות 16 מטבעות 14 מטבעות 12 מטבעות 10 מטבעות 8 מטבעות 6 מטבעות 4 מטבעות 2 מטבעות סוגי מטבעות אפשרויות אפשרויות שונות לפריטה 50 אגורות 10 אגורות 2 מטבעות 10 מטבעות 1 מטבע 5 מטבעות 1 מטבע 1 מטבע 1 מטבעות 1 מטבע 2 מטבעות 1 מטבע 3 מטבעות 1 מטבע 4 מטבעות 1 מטבעות 2 מטבעות 3 מטבעות 4 מטבעות 5 מטבעות 6 מטבעות 7 מטבעות 8 מטבעות 9 מטבעות 29

30 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) תלמידים בגיל הזה לא יוכלו, כמובן, להציע את כל הפתרונות. אפשר להסתפק במקצת הפתרונות. המורה יכולה לרכז באופן שיטתי את פתרונותיהם של התלמידים בטבלה כמו זו שבעמוד הקודם. הצעות להרחבת הבעיה מה קורה כאשר פורטים יותר משקל אחד? בכל אפשרות פריטה מהו מספר המטבעות המתקבלות? האם יש קשר בין מספר המטבעות שהתקבלו לבין אפשרות הפריטה שנבחרה? מדוע בפריטה למטבעות של 5 אגורות תמיד מתקבל מספר זוגי של מטבעות? בכמה דרכים שונות אפשר לפרוט שקל אחד כך שיתקבל מספר נתון של מטבעות (לדוגמה: 11 מטבעות, 10 מטבעות, 7 מטבעות)? מובן שאין צורך לעסוק עם כל קבוצת תלמידים בכל ההצעות להרחבת הבעיה. 30

31 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 2 (עמוד 35 בחוברת לתלמיד) התבוננתי בכל הילדים ששיחקו בגינה. 3 ילדים לבשו מכנסים שחורים ו 5 ילדים לבשו חולצות אדומות. כמה ילדים שיחקו בגנה? המלצות בתחילת העבודה אפשר לבקש מהתלמידים לספר את הסיפור במילים שלהם. צפוי מאוד שבמבט ראשון יתמהו התלמידים על פשטות הבעיה ויציגו רק את הפתרון האחרון המצוין בטבלה שלמטה (והנימוק יהיה 5+3). במקרה כזה אפשר לשאול אותם אם יש אפשרויות פתרון נוספות; אם הם לא יציעו אפשרויות כאלה, אפשר לשאול אותם אם ייתכן שיש ילד שלובש גם מכנסיים שחורים וגם חולצה אדומה. מניסיוננו שאלה זו כבר גוררת אחריה את החשיבה על מקרים נוספים. כדאי לדון בכל אפשרות שהתלמידים מציעים. אפשר להמחיש את האפשרויות האלה באמצעות ציורים. הצעות לפתרון הבעיה הסבר כל הילדים לבשו חולצות אדומות: 3 לבשו חולצות אדומות ומכנסיים שחורים. 2 לבשו חולצות אדומות ומכנסיים שצבעם אינו ידוע לנו. 3 לבשו חולצה אדומה ומכנסיים שצבעם אינו ידוע לנו. 2 לבשו חולצות אדומות ומכנסיים שחורים. 1 לבש מכנסיים שחורים וחולצה שאינה אדומה. 4 לבשו חולצות אדומות ומכנסיים שצבעם אינו ידוע לנו. 1 לבש חולצה אדומה ומכנסיים שחורים. 2 לבשו מכנסיים שחורים וחולצה שאינה אדומה. 5 לבשו חולצות אדומות ומכנסיים שצבעם אינו ידוע לנו. 3 לבשו מכנסיים שחורים וחולצה בצבע שאינו אדום. אפשרות 5 ילדים 6 ילדים 7 ילדים 8 ילדים הצעות להרחבת הבעיה הצגת מקרים נוספים מהסוג המתואר לעיל. אחרי עיסוק במקרים הנוספים אפשר לחפש אסטרטגיית פתרון כללית, שבה מוצאים את נקודות הקיצון: המספר המרבי (כשהקבוצות זרות זו לזו - במקרה שלנו כשאין ילד שגם לובש מכנסיים שחורים וגם לובש חולצה אדומה) והמספר המזערי (כשקבוצה אחת מוכלת בקבוצה האחרת - כל הילדים שלובשים מכנסיים שחורים לובשים גם חולצות אדומות). 31

32 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 3 (עמוד 36 בחוברת לתלמיד) ילדים שיחקו בחצר. הם הצליחו להסתדר גם בזוגות וגם בשלישיות. כמה ילדים השתתפו במשחק? האם יש עוד אפשריות? אם כן, כתבו. המלצות יש לתת את הדעת על כך שבשלב זה אין לתלמידים דרך שיטתית לפתרון הבעיה. אפשר להציע לתלמידים לבחור קבוצת תלמידים שיסתדרו תחילה בזוגות ואחר כך בשלישיות ולבחון מה קורה. כדאי לחזור על התנסות זו בכמה אפשרויות שונות. יש להביא בחשבון שאמנם ההתנסות במבחר האפשרויות תעזור לתלמידים למצוא אוסף של מקרים פרטיים, אך למרות זאת רק מעטים מהם יוכלו להגיע לידי הכללה שתספק את הפתרון. הצעה לפתרון הבעיה כל מספרים המתחלקים גם ב 2 וגם ב 3. לדוגמה: המספר 6 המתחלק גם ב 2 וגם ב 3. למעשה כל מספר שהוא כפולה של 6 מתחלק גם ב 2 וגם ב 3. סביר להניח שהתלמידים יגיעו למספרים האלה על סמך התכונה הבסיסית שהוזכרה למעלה. חשוב להביא בחשבון גם את ההתאמה למציאות. מספר הילדים בקבוצה צריך להיות כזה שמאפשר משחק; יש לדון עם התלמידים גם על היבט זה. הצעות להרחבת הבעיה אפשר להציג בעיות דומות במספרים אחרים. כדאי לבנות גם בעיה שבה די להביא בחשבון כפולה של מספר אחד, שכן הוא עצמו כפולה של המספר האחר. לדוגמה: הילדים יכולים להסתדר גם בזוגות וגם ברביעיות. מכיוון שהמספר 4 הוא כפולה של 2, די להביא בחשבון רק כפולות של 4, שכן כל מספר המתחלק ב 4 מתחלק גם ב 2. (הדבר לא יהיה נכון, כמובן, אם נביא בחשבון רק כפולות של 2, שכן לא כל מספר המתחלק ב 2 מתחלק גם ב 4. לדוגמה: 6 מתחלק ב 2 ואינו מתחלק ב 4.) 32

33 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 4 (עמוד 36 בחוברת לתלמיד) לגלי היו פחות מ 20 מדבקות. כמה מדבקות נשארו לה, אם היא נתנה לחברה שלה 5 מדבקות? כתבו אפשרויות שונות. המלצות חשוב לוודא שהתלמידים מבינים את משמעות המשפט: לגלי יש פחות מ 20 מדבקות. ממשפט זה ברור שמספר המדבקות של גלי אינו 20 אלא פחות מכך. אפשר לברר עם התלמידים מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של מדבקות שיש לגלי. הצעות לפתרון בעיה מספר המדבקות שנשארו לגלי 0 מדבקות 1 מדבקה 2 מדבקות לגלי נשארו כל שאר המדבקות בין 3 ל 13 הסבר בתנאי שהיו לה 5 מדבקות בלבד, והיא נתנה את כולן לחברתה. בתנאי שהיו לה 6 מדבקות בלבד, והיא נתנה לחברתה 5 מהן. בתנאי שהיו לה 7 מדבקות בלבד, והיא נתנה לחברתה 5 מהן. בדומה לפתרונות הקודמים. המספר המרבי הוא 19 מדבקות פחות מ 20 מדבקות. גלי נתנה לחברתה 5 מדבקות, ולכן נשארו לה 14 מדבקות. 14 מדבקות לסיכום: כל פתרון מ 0 עד 14 עונה על תנאי הבעיה. חשוב שלכל פתרון יהיה הסבר כדוגמת ההסברים שבטבלה. הצעה להרחבת הבעיות אפשר להפעיל את האסטרטגיה של "מה אם לא?" על כל אחד ממרכיבי הבעיה; אפשר לשנות כל אחד מהמספרים בבעיה ואפשר גם לעסוק בבעיה כאשר נתון שלגלי היו יותר מ 20 מדבקות. במקרה כזה אפשר לדון עם התלמידים על ההבדל בין מספר הפתרונות כאשר נתון שלגלי היו פחות מ 20 מדבקות לבין מספר הפתרונות כאשר נתון שלגלי היו יותר מ 20 מדבקות. 33

34 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 5 (עמוד 37 בחוברת לתלמיד) רותי חילקה 20 אגוזים ל 5 ילדים. האם ייתכן שכל אחד מהילדים קיבל מספר אי זוגי של אגוזים? המלצות חשוב לוודא שהסיפור ברור לתלמידים. לתלמידים יהיו התלבטויות רבות בקשר לבעיה זו. רוב התלמידים מנסים אפשרויות רבות ומופתעים מאוד מכך שהם אינם מוצאים פתרון. התשובה שמצב כזה לא ייתכן אינה מוכרת להם וחשוב לדון אתם גם על מצבים מסוג זה. חשוב לדון עם התלמידים על כך שהעובדה שהם לא מצאו פתרון אינה ערובה לכך שאין פתרון לבעיה אולי הם לא חיפשו די ולכן יש צורך בחיפוש נימוק מהותי יותר מהנימוק "לא מצאנו". הצעה לפתרון הבעיה כבר כתשובה ראשונית ברור שהחלוקה של האגוזים בין חמשת הילדים אינה יכולה להיות שווה, שכן בחלוקה שווה מקבלים את התשובה: 4 אגוזים לכל משתתף, ותשובה זו אינה מתאימה לאפשרות שכל אחד מהילדים קיבל מספר אי זוגי של אגוזים. אחת הדרכים למציאת פתרון יכולה להיות צירוף של חמישה מספרים אי זוגיים שסכומם הוא 20. כל צירוף כזה ייצור סכום שהוא מספר אי זוגי. במהלך הניסיון לעזור לתלמידים להגיע לפתרון הבעיה כדאי להציע להם לבצע בדיקה הדרגתית של חיבור שני מספרים אי זוגיים, ואז הם ייווכחו שהתוצאה היא תמיד זוגית. באותו האופן אפשר לבצע חיבור של שלושה מספרים אי זוגיים, ואז התוצאה היא תמיד אי זוגית. מכאן אפשר להגיע להכללות האלה: כאשר מחברים ארבעה מספרים אי זוגיים, תמיד מתקבל מספר זוגי; כאשר מחברים חמישה מספרים אי זוגיים, תמיד מתקבל מספר אי זוגי. הצעות להרחבת הבעיה אפשר לברר עם התלמידים מתי סכום של מספרים הוא מספר זוגי ומתי סכום כזה הוא מספר אי זוגי ולהציע להם להמציא בעיות דומות. 34

35 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 6 (עמ' 37 בחוברת לתלמיד) בצלחת היו 5 שזיפים ו 4 משמשים. מתן אכל 6 פּ רות. כמה פּ רות מכל סוג הוא אכל? המלצות כדאי לוודא שהמטלה ברורה לתלמידים, כלומר שהם מבינים כי הפּ רות שאכל מתן הם רק שזיפים ומשמשים, והוא לא אכל פּ רות אחרים, וכן שהם מבינים כי הוא היה יכול לאכול כל הרכב של פּ רות הכולל משמשים ושזיפים. לפני שהתלמידים מתחילים לעבוד באופן חופשי כדאי לבקש מהם שיביאו דוגמאות אפשריות לפּ רות שאכל מתן. יש להניח שכל תלמיד ייתן כמה תשובות לבעיה. התשובות הנפוצות הן אלה: מתן אכל את כל הפּ רות מסוג אחד ואת השאר מהסוג האחר. לדוגמה: 5 שזיפים ומשמש אחד או 4 משמשים ו 2 שזיפים. חשוב לעודד את התלמידים לחפש עוד אפשרויות. הצעות לפתרון הבעיה כדי למצות את כל התשובות האפשריות, רצוי לאסוף מהתלמידים את תשובותיהם ולארגן אותן בטבלה, בדומה לטבלה הזאת. סוגי הפּ רות סך כל הפּ רות שזיפים משמשים שאכל מתן אפשרויות הצעה להרחבת הבעיה בדיון שבעקבות העבודה כדאי לשאול את התלמידים: האם ייתכן שמתן אכל רק שזיף אחד? מדוע? כיצד ישתנה הפתרון אם יאכל מתן 7 פּ רות? האם יהיו אז יותר תשובות אפשריות? כיצד ישתנה הפתרון אם יהיו בצלחת 8 משמשים? 35

36 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 7 (עמוד 38 בחוברת לתלמיד) כתבו מספרים דו ספרתיים שבהם ספרת העשרות גדולה מספרת היחידות. כמה מספרים כאלה יש? המלצות רצוי להתחיל את העיסוק בבעיה מבירור המונחים "מספר דו ספרתי", "ספרת עשרות" ו"ספרת יחידות". כדאי לבקש מהתלמידים להביא דוגמאות של מספרים המקיימים את התנאי שספרת העשרות שלהם גדולה מספרת היחידות שלהם, לדוגמה: , יש לתת את הדעת על כך שבדרך כלל התלמידים מתחילים מבחירה אקראית של מספרים מתאימים, ולאט לאט הם מגיעים לחיפוש שיטתי יותר. בשלב זה של הלמידה, כמו בכל הבעיות הלא שגרתיות, יציעו התלמידים דוגמאות שונות באופן לא שיטתי. את הארגון השיטתי המורה יכולה לבצע על סמך אוסף הדוגמאות של התלמידים. בדיקה שיטתית כזאת אפשר לבצע, לדוגמה, באמצעות הטבלה הזאת. המלצה לפתרון הבעיה נציג שתי דרכים לפתרון הבעיה הזאת שמצאנו אצל תלמידים. דרך א: ריכוז המספרים המתאימים לבעיה בטבלה לפי תחומי המספרים המספרים כמות מספרים סה"כ

37 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) דרך ב: סימון המספרים המתאימים לתנאי הבעיה על לוח המאה המילוי השיטתי של הטבלה או הסימון על לוח המאה מצביע על סדרתיות. אפשר לראות שאת כמות המספרים אפשר למנות בשני אופנים (בכיוון אופקי ובכיוון אנכי). לאורך השורות ניתן לראות מה קורה כששומרים את ספרת היחידות קבועה ומשנים את ספרת העשרות, ולאורך הטורים אפשר לראות מה קורה כאשר ספרת העשרות קבועה וספרת היחידות משתנה. לסיכום: התלמידים יכולים ללמוד שמספר המספרים הדו ספרתיים שספרת העשרות שלהם גדולה מספרת היחידות שלהם גדל ב 1 במעבר מעשרת אחת לבאה אחריה. בסך הכול יש 45 מספרים כאלה. הצעה להרחבת הבעיה הרחבת הבעיה יכולה להיעשות תוך מעבר לבעיית בל"ש 8 המוצגת בהמשך. 37

38 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) בל"ש 8 (עמ' 38 בחוברת לתלמיד) כתבו מספרים דו ספרתיים שבהם ספרת היחידות גדולה מספרת העשרות. כמה מספרים כאלה יש? המלצות חשוב לבקש מהתלמידים להביא דוגמה למספרים כאלה (כגון: 29 12, וכדומה). יש לצפות שלאחר העבודה השיטתית שהוצגה למעלה (בבל"ש 7), יתחילו תלמידים רבים לפעול מיד בדיוק באותה הדרך (הנכונה כמובן). כדי להגיע באופן שיטתי למספרים האלה אפשר לבנות טבלה. הצעה לפתרון הבעיה המספרים כמות מספרים סה"כ 36 גם כאן מילוי שיטתי של הטבלה מצביע על סדרתיות. כך התלמידים לומדים שמספר המספרים הדו ספרתיים שספרת היחידות שלהם גדולה מספרת העשרות שלהם קטן ב 1 במעבר מעשרת אחת לעשרת הבאה אחריה. בסך הכול יש 36 מספרים כאלה. כמובן גם בבעיה זו אפשר לסמן את המספרים המתאימים על לוח המאה, כפי שעשינו בבעיה הקודמת. תשובות שגויות האופייניות לבעיה זו "יש 45 מספרים, כמו בבל"ש 7." תלמידים עונים כך מטעמי סימטרייה. הם מופתעים מאוד לגלות שהתנאי המוצג בבעיה אינו סימטרי. "מתוך 100 מספרים (לוח ה 100 ) נוריד את 45 המספרים שמצאנו קודם, ולכן יהיו כאן 55 מספרים." לעתים קרובות תלמידים רבים מתקנים את עצמם בשלב זה ואומרים: "למעשה 100 אינו מספר דו ספרתי, ולכן 54=99-45." הם מופתעים לגלות שגם תשובה זו אינה נכונה. תגובות מומלצות לתשובות השגויות כדאי לדון על מבנה המספרים בלוח ה 100. יש להזכיר לתלמידים כי המספרים 9-1 הם חד ספרתיים וכי המספר 100 הוא תלת ספרתי, ולכן מספרים אלה אינם שייכים לבעיה. 38

39 ה. בעיות לא שגרתיות (בל"ש) חשוב להבהיר לתלמידים, כי יש מספרים שבהם ספרת היחידות שווה לספרת העשרות (11, 22 (וכדומה). אם פותרים את הבעיה על ידי כך שגורעים מלוח ה 100 את המספרים שאינם מתאימים לתנאי המוצג בבעיה, יש לזכור לגרוע את כולם =36 פתרון מסוג זה ייראה כך: המספר 100 המספרים...33,22,11 מספרים שבהם ספרת העשרות גדולה מספרת היחידות המספרים החד ספרתיים 39

40 ריק 40

41 נ ס פ ח י ם תוכן העניינים מבדק דפי רב דף כרטיסים לגזירה דפי רב-דף דפי רב דף הם דפים "פתוחים" שיש בהם פעילויות דומות לאלה שבחוברת לתלמיד. במקומות המתאימים בגוף החוברת יש הפניות אליהם. ניתן לצלם את דפי הרב דף. בתחתית כל דף יש הנחיות להכנת הדף לתלמידים, כלומר אילו נתונים אפשר להשלים בו מראש. יש להתאים את דפי הרב דף לצורכי התלמידים. 41

42 גּ ± Û A U א. תּ אוּ רים ו צ יּוּ רים י: שׁמ ציּ רוּ בּ תוֹ ך ה מּס רת ל פ י ה תּ אוּר. א ב ג רב דף זה מתאים לעמוד 7 בחוברת לתלמיד. כדי להכין את הדף לתלמידים יש לכתוב בכל סעיף תיאור של קבוצה המורכבת משתי קבוצות חלקיות. מומלץ לכתוב פריטים קלים לציור. כל הזכויות שמורות למטח 44 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

43 שׁ ה שּׁ שּׁ א ם א ר ר מי א Û A U א. תּ אוּ רים ו צ יּוּ רים י: שׁמ ל ימוּ ו ציּ רוּ. :, בּקּ כּמּ בוּצ ה ה? מה ה? כּמּ מ ה? מ ה?.1. וה מ ה?.2 ה? כּמּ מה צּוּרוֹת שׁ בּקּ בוּצ ה ה ן מ ה?. וה מ ה? צ יּוּ רים א ח רים שׁ מּת ים: רב דף זה מתאים לעמוד 7 בחוברת לתלמיד. כל הזכויות שמורות למטח 45 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

44 שׁ ה נ ק ק ק ם ם ק Û A U ב. ס פּוּ רים ו תב יּוֹת י: שׁמ ל ימוּ א ת ה תּב ס פּוּר א נ ית ל פ י ה סּ פּוּר. שׁל חל חל ס פּוּר ב שׁל חל חל רב דף זה מתאים לעמודים 11-8 בחוברת לתלמיד. כדי להכין דף זה לעבודה לתלמידים יש לכתוב סיפור חיבורי בכל סעיף. כדאי לכתוב סיפור אחד שבו המספרים נתונים, וסיפור אחר שבו התלמידים משלימים את המספרים. כל הזכויות שמורות למטח 46 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

45 שׁ ה ם ק ÛA U ד. ס פּוּ רים וּב ע יוֹת (נ תּוּח, פּת ה) רוֹן וּכ ת בי י: שׁמ ל ימוּ מ ספּ רים בּ תּב נ ית ו כ ת בוּ שׁ תּ י בּ ע יוֹת מ תא ימוֹת. שׁל ק ל ח חל תּ רגּ יל תּ רגּ יל תּ שׁוּב ה תּ שׁוּב ה רב דף זה מתאים לעמוד 26 בחוברת לתלמיד. כדי להכין דף זה לעבודה לתלמידים יש לכתוב תיאורים מתאימים בתבנית (בלי המספרים). כל הזכויות שמורות למטח 47 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

46 µ Û A U ה. ס פּוּ רים וּב ע יוֹת (נ תּוּח, פּת רוֹן וּכ ת בי ה) י: שׁמ כּת בוּ בּ ע יוֹת מ תא ימוֹת ל תּ רגּ יל ים. א ב ג ד רב דף זה מתאים לעמוד 27 בחוברת לתלמיד. כדי להכין דף זה לעבודה לתלמידים יש לכתוב בראש כל סעיף תרגיל חיבור או תרגיל חיסור. כל הזכויות שמורות למטח 48 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

47 א שּׁ א שּׁ כרטיסים למשחק רביעיות (לעמוד 10 במדריך למורה) י: שׁמ בּצּ 6 כּל יּוּר י שׁ י תּ ח בּוּ רה. בּצּ 7 כּל יּוּר י שׁ י תּ ח בּוּ רה. בּצּ יּוּר י שׁ 4 מ כוֹנ יּוֹת וּ 2 אוֹפנּ י ם. בּצּ יּוּר י שׁ 2 אוֹפנּ י ם ו 5 מ טוֹס ים. בּצּ יּוּר י שׁ 6 כּל י תּ ח בּוּ רה: 2 אוֹפנּ י ם וה ר מ כוֹנ יּוֹת. בּצּ יּוּר י שׁ 7 כּל י תּ ח בּוּ רה: 2 אוֹפנּ י ם וה ר מ טוֹס ים. כל הזכויות שמורות למטח 49 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

48 י: שׁמ ריק כל הזכויות שמורות למטח 50 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

49 א שּׁ א שּׁ כרטיסים למשחק רביעיות (לעמוד 10 במדריך למורה) י: שׁמ בּצּ יּוּר י שׁ 6 צע צוּע ים. בּצּ יּוּר י שׁ 7 צע צוּע ים. בּצּ יּוּר י שׁ 3 כּ דּוּ רים ל בנ וּ 3 כּ דּוּ רים פ א םי רים. בּצּ יּוּר י שׁ 4 בּ בּוֹת וּ 3 כּ דּוּ רים ל בנ ים. וה בּצּ יּוּר י שׁ 6 צ ע צוּע ים: 3 כּ דּוּ רים ל בנ םי ר כּ דּוּ רים א פ רים. בּצּ יּוּר י שׁ 7 צ ע צוּע ים: 3 כּ דּוּ רים ל בנ םי וה ר בּ בּוֹת. כל הזכויות שמורות למטח 51 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

50 י: שׁמ כל הזכויות שמורות למטח 52 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

51 כרטיסים למשחק רביעיות (לעמוד 10 במדריך למורה) י: שׁמ כל הזכויות שמורות למטח 53 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

52 י: שׁמ כל הזכויות שמורות למטח 54 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך

53 כרטיסים למשחק רביעיות (לעמוד 10 במדריך למורה) י: שׁמ כל הזכויות שמורות למטח 55 שבילים - בעיות חיבוריות - המשך